INTEGRAL
DE RIEMANN
Ahora se va a definir la integral de
una función cualquiera definida en un intervalo [a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que
exista un número M > 0, de
forma que la función, en el intervalo [a,
b], siempre tome valores entre -M
y M. Volviendo al ejemplo introductorio
del tema, f(x) = x, es necesario
recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron
funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x)
£ f(x) para cualquier
x Î [a, b] y otras funciones
escalonadas h(x) tales que f(x)
£ h(x) si x
Î [a, b]. De todo ello
resultaba que:
En general, para una función f(x)
acotada, se toman todas las funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas
las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) £ f(x) £ h(x) cuando x
Î [a, b]. En estas
condiciones, si existe un único número I
que cumpla
para cualesquiera g(x)
y h(x) escalonadas, que cumplan g(x)
£ f(x) £ h(x) si x Î [a, b], al número I
se le llama integral de f(x)
entre a y b.
y se lee «integral, desde
a hasta b, o entre a y b,
de f(x),diferencial de x. Significado de la integral definida de una función · Si una función positiva f(x),
definida en un intervalo [a,b],
es integrable (existe su
· Si la función y = f(x) fuese negativa en
el intervalo [a, b], la gráfica
de la función quedaría por debajo del eje de abscisas.
En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto,
sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que
Este hecho no debería llamar la
atención si se tiene presente cómo está definida la integral de una
función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que
determina con el eje de abscisas, si la función escalonada es positiva
y la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el eje de
abscisas con signo menos, si la función escalonada es negativa. · Finalmente, si la gráfica de una
función queda parte por encima, y parte por debajo del eje de abscisas,
la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera
calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en
el intervalo [a, b]. En la figura adjunta, se ve
claramente que:
La definición de integral de
Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar todas las
funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada.
Hay, no obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir
si una función acotada es integrable o no. Uno de ellos se obtiene con
el siguiente teorema, cuya demostración se omite por escapar de los
objetivos de este libro. Teorema Toda función continua en un
intervalo es integrable en dicho intervalo. Si y = f(x) es una función
continua definida en un intervalo [a,
b], entonces f(x) es
Con este teorema resulta evidente la
integrabilidad de funciones como sen
x, cos x, de cualquier
función polinómica y, en general, de cualquier función continua. Aún así, todavía no hay nada que
permita calcular de una manera rápida la integral de una función f(x)
definida en un intervalo [a, b]. |