El problema del límite Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste
en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.
al aumentar n (el número
de orden), an
está
cada vez más próximo a cero:
1.
Ningún término de la sucesión llega a valer cero. 2. Elegido un entorno centrado en cero, por pequeño que éste sea,
siempre se encuentra un término tal que a partir de él todos los términos
de la sucesión están dentro de ese entorno. Por ejemplo, si se elige el entorno (-0,0001 ; 0,0001), a partir
del término a10000,
todos los demás términos (an
,
n > 10 000) están en dicho
entorno. En efecto: · a10000
= 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por
definición, no tiene cabida en él.
· Si n > 10 001, an
< a10001 < 0,0001 · Se concluye que si n >
10 000, an
Î
(-0,0001; 0.0001). Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definición
de límite de una sucesión. LÍMITE
DE UNA SUCESIÓN Dada una sucesión (an),
se dice que (an)
tiene por límite I, tiende a l o
converge a l
cuando n tiende a
infinito (¥), y se simbolizará
o más simplificadamente
(an)
® I, si para todo e > 0 (épsilon) tan pequeño como se
quiera, existe un subíndice n0
tal que para todo n ³
n0, an pertenece al entorno (I - e, I + e). Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el
entorno citado. Esto significa que para n
³ n0, | an
- I | < e. Y recordando el significado de valor absoluto, | an - I | < e
se traduce en -e < an - I < e, y sumando I
a los tres miembros de la desigualdad, I
-e
< an <
I + e. EL número n0
que
se ha de encontrar para cada e, depende de éste. |