CONCAVIDAD
Y CONVEXIDAD
·
Una función f(x) no lineal se dice que
es convexa en un intervalo si f''
(x) ³
0 en todo punto de dicho intervalo. Por la primera propiedad de las
funciones derivables, esto significa que f'(x)
es una función creciente en ese intervalo. Basta recordar el
significado de la derivada para concluir que las pendientes de las
tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo
aumentan según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de
abscisas. Es claro que en una función convexa
las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta.
·
Una función f(x) se dice que es cóncava
en un intervalo si f'' (x)
£
0 en todo punto de él. Por la segunda propiedad de las funciones
derivables, es tanto como decir que la función f'(x)
es decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes
a la curva disminuyen al recorrer de izquierda a derecha los puntos de
abscisa del intervalo considerado. En una tal función las tangentes a
la curva quedan por encima de ésta.
·
La gráfica de una función f(x) tiene
un punto de inflexión en un
punto de abscisa a, si en el
punto (a,f(a)) la curva pasa
de ser cóncava a convexa o viceversa. ¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión? Puesto que una función es convexa
cuando f'' (x) ³
0 y cóncava si f'' (x) £
0 , y el punto de inflexión separa una concavidad de una convexidad, en
él la segunda derivada, si existe, necesariamente ha de ser nula. Por
tanto, si en a hay un punto de
inflexión, f''(a) = 0. Sin embargo, hay puntos en los que
la derivada segunda es cero sin que existan puntos de inflexión en
ellos. Determinación de puntos de inflexión 1.º Los posibles puntos de inflexión
de una función f(x) deben
buscarse entre las soluciones de la ecuación f''(x)
= 0.
2.º Si a es una de estas
soluciones, hay que comprobar que separa un tramo de curva cóncavo de
otro convexo; para ello se toma un número h suficientemente pequeño y se comprueba que f''(a + h) y f''(a - h) tienen
signos distintos, todo lo cual indica que a un lado de a la curva es convexa y al otro cóncava. 3.º Por el contrario, si f''(a
+ h) y f''(a - h) tienen el mismo signo, la curva es totalmente cóncava o
totalmente convexa en un entorno de a
y prueba la no existencia de puntos de inflexión. La tangente a una curva en un punto
de inflexión corta a ésta, ya que en la parte cóncava la tangente
queda por encima, mientras que en la convexa queda por debajo de la
curva. Ejemplo:
Resolución:
· Igualando a cero la segunda
derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su
numerador es cero,
· Puesto que el denominador es
positivo, f''(x) es positivo
cuando el numerador sea positivo, y negativo si el numerador es
negativo.
pues para h < 1, 3h < 3 y 2
Con estos datos se puede dibujar la curva con suficiente precisión. |