MÁXIMO
Y MÍNIMO
DE UNA FUNCIÓN Dada una función f(x),
se dice que tiene un máximo
relativo en un punto de abscisa
a, si existe un intervalo (a
- e, a + e)
en el que f(x) < f(a)
para cualquier punto x
perteneciente a (a - e,
a + e). El máximo es entonces el punto (a,
f(a))
de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo
en un punto b si hay un
intervalo (b - d, b + d)
en el que f(x) > f(b)
para cualquier punto x
perteneciente a (b - d,
b + d). El mínimo es entonces el punto (b,
f(b))
de la curva. A los máximos y mínimos de una
función se les da el nombre común de extremos
relativos o simplemente extremos.
Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más
de un máximo y más de un mínimo. Consecuencias 1. La tangente a una curva en
cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el
ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de
dichas tangentes (tg 0º) es
cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función
en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si
en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los
extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que
hacen cierta la igualdad f'(x)
= 0. No obstante, aún no se dispone de
ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación
f'(x) = 0 son máximos, mínimos,
o ni lo uno ni lo otro.
Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable
en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la
figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a))
hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a;
por tanto, no existe f'(a). Ejercicio:
determinación de posibles puntos extremos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ¿Qué puntos de la función f(x)
= 2x2 - 3 pueden ser extremos relativos? Resolución: Los posibles extremos relativos de
la función f(x) = 2x2 - 3 se obtienen al resolver la
ecuación
f'(x)
= 2 · 2x = 0, de
donde necesariamente x = 0 Aún así no se puede asegurar si en
este punto hay máximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si
hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que corresponde al punto (0,- 3). |