Integración
por descomposición Este método se basa en la aplicación
de dos propiedades elementales de las integrales: · Primera propiedad de las integrales La integral de una suma
(respectivamente diferencia) de funciones, es igual a la suma
(respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones. Esto es,
Demostración:
Entonces, F(x) + G(x) es una primitiva de f(x)
+ g(x) y F(x) - G(x) es
una primitiva de f(x)
- g(x), ya que:
(F(x) + G(x))' = F'(x) +
G'(x) = f(x) + g(x)
(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x) Por tanto,
Análogamente,
· Segunda propiedad de las integrales La integral del producto de una
constante por una función, es igual al producto de la constante por la
integral de la función. Es decir,
Demostración:
Pero (k · F(x))' = k · F'(x) = k · f(x), lo que indica que k
· F(x) es una primitiva de k
· f(x). Por tanto,
Ejercicios:
Resolución:
son integrales inmediatas
pertenecientes al segundo caso. En la primera, m = 2, y en la segunda, m
= 1. Así,
Por consiguiente,
Resolución:
= - cos x - 3 In |cos
x| + C
Resolución: · Desarrollando por la fórmula del
cuadrado de un binomio:
· Así,
Resolución: (Obsérvese que ahora la variable es
t y no x. Conviene acostumbrarse al manejo de cualquier variable aunque la
más utilizada sea la x.)
· Aplicando la propiedad distributiva
del producto:
· Entonces,
Resolución: · Descomponiendo la fracción en suma
de fracciones:
· Por tanto,
Resolución:
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