Sucesiones divergentes Una sucesión es divergente
si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos
infinito (+¥
ó
-¥ ). Expresado de forma rigurosa: ·Una sucesión (an
) tiene por límite +¥ ó diverge a +¥
si elegido un número k
tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no
tal
que para cualquier n ³ no
,
an
> k. Esto es equivalente a afirmar que para n ³ no
,
an
está en el intervalo
(k, +¥),
es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera. ·Una sucesión (an
) tiene por límite -¥ ó diverge a -¥
si elegido un número k
tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no
tal que para cualquier n ³ no
,
an
< -k. Esto equivale a decir que para n
³ no
,
an
pertenece al intervalo
(-¥,
-k). Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k
elegido, el subíndice no
será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no
. Sucesión oscilante Una sucesión (an
)
se dice que es oscilante si no
es convergente ni divergente. Ejercicio: Probar que la
sucesión an
= 5n2 - 9 diverge a +¥. Resolución: ·Se elige un número
k tan grande como se desee.
Por ejemplo k = 108. ·Hay que encontrar
los valores de n para los
cuales an >108, es decir, 5n2- 9 >108. ·En 5n2 - 9 > 108 se suma 9 a los
dos miembros: 5n2 > 108 + 9 = 100 000
009.
A partir del término a4 473, an
>
108. ‚ ¿Tiene límite
la sucesión an
= (-1)n ·3? Resolución: · Los términos de
esta sucesión son: -3, 3, -3,3,
-3,3, ... ·La sucesión an
= (-1)n ·3 es oscilante. · Se ha de probar
que no tiene límite: los posibles límites son 3 y -3.
Si se toma e = 1, los términos impares a2n-1 = -3 no éstan en el intervalo (I - e,
I + e)
= (2, 4). No se puede encontrar un n0 a partir del cual
todos los términos están dentro del intervalo (2, 4).
Si se toma e = 1, los términos pares a2n
=
3 no se encuentran en (I - e,
I + e)
= (-4, 2). No se puede encontrar un n0 a partir del cual todos los términos estén dentro del intervalo
(-4, 2).
Por lo tanto la sucesión es oscilante. Es fácil caer en la tentación de tomar el intervalo (-4,10) y
pensar que puesto que todos los términos de la sucesión pertenecen a
él, la sucesión debería tener límite. Sin embargo, la definición de límite obliga a que elegido un e
cualquiera todos, salvo una cantidad finita de términos, queden en el
intervalo (I - e,
I + e).
Basta, pues, elegir un e para el que no se cumpla esta premisa
y concluir que la sucesión no tiene límite. |