DIFERENCIAL
DE UNA FUNCIÓN
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h
y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en
el punto de abscisa x, y desde
x + h se levanta una paralela
al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Diferencial de una función en un punto Se define diferencial de una función y
= f(x) en un punto x, y se
simboliza por dy ó df(x),
al producto f'(x) · h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) · h Propiedades de la diferencial Primera
propiedad: La diferencial de una función en un
punto depende de dos variables: el punto x
elegido y el incremento h que
se ha tomado. Segunda
propiedad: Al ser dy = f ' (x)·h
=
Tercera
propiedad: Si se considera la función y
= f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h
= h. Así, dx = h y
Cuarta
propiedad:
cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a
cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo. Ejemplos: Un móvil se mueve según la relación
s = 5t2 + t, donde s representa el
espacio recorrido medido en metros y t
el tiempo medido en segundos. Se quiere saber los metros que
recorre el móvil en el tiempo comprendido entre
Resolución: · Diferenciando la expresión s
= 5t2
+ t,
ds = (10t + 1) · dt
· Sustituyendo en la expresión de ds,
· En la figura se observa que en
realidad recorre algo más de 23,66 metros:
Se ha cometido un error de 24,18 m -
23,66 m = 52 cm ‚ Calcular 3,052. Resolución: Para encontrar un resultado
aproximado de 3,052 se considera la función y
= x2. Diferenciando esta función, dy
= 2x dx. Por la proximidad de 3,05 a 3 (5
centésimas) se calculará la diferencial en el punto de abscisa x
= 3 y se llevará a la expresión de dy. En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05
dyx
= 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30 Por tanto, aproximadamente, 3,052
= 9 + 0,30 = 9,30. Si se calcula con exactitud el valor
de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se
ha cometido un error de 9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡25 diezmilésimas! |