LA INTEGRAL DEFINIDA El cálculo de áreas de figuras
como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo
tiene un claro significado: el área de una figura es un número que
coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la
figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo
se calcula. Para responder a esta cuestión se
puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x)
= x, dibujarla en un sistema
de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie
limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada
correspondiente a la abscisa x
= 1. Evidentemente, la superficie es un
triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto
su área es 1/2. Es claro que este problema carece de
toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para
intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.
Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de
igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se
trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas
de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo;
mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados,
exceden al área del triángulo. Calculando estas áreas se obtiene:
Al área por defecto, 0,375, le
falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se
encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1],
parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso
anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1]
en n intervalos de longitud 1/n,
la superficie que se «desperdicia» es menor, si n
> 4. Área por defecto:
Área por exceso:
Como los numeradores son
progresiones aritméticas, el resultado es:
Además,
Todo ello pone de manifiesto que al
dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de
intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por
exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. |