DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X.
Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0
(h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender
h a cero, la recta secante que
une los puntos (x0,f(x0
)) y (x0 + h,f(x0
+
h)) tiende a confundirse con la
tangente a la curva en el punto (x0,f(x0
)).
que determina la tangente con ese
mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices (x0,f(x0
)),
(x0 + h,f(x0
+
h)) y (x0 + h,f(x0
)), se verifica:
Al hacer tender h
a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, tg
ah
tiende a tg
a, es decir, a la pendiente de la
tangente a la curva en el punto (x0,f(x0
)). Esto se expresa matemáticamente así:
Derivada de una función en un punto Dada una función y
= f(x), se llama derivada de la función f
en un punto x0 al
f'(x0
) (efe prima de equis sub-cero) o por
D(f(x0
)):
Cuando este límite existe (y es
finito) se dice que la función f(x)
es derivable en el punto x0. Ejercicio:
Calcular
la derivada de la función f(x)
= 3x + 5 en el punto de abscisa x
= 1. Resolución: · Se pide el valor de f''(1)
(en este caso, x0 = 1).
Por tanto, f'(1) = 3. ‚ Calcular la derivada de la función
f(x)
=
Resolución:
Recordando que suma por diferencia
es igual a la diferencia de los cuadrados:
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