FUNCIÓN
CRECIENTE
Y DECRECIENTE
·
Una función es creciente en un intervalo [a,b]
si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1
y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
·
Una función es decreciente en un intervalo [a,b]
si para cualesquiera puntos del intervalo, x1
y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³
f(x2 ). Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2
), la función se dice estrictamente
decreciente. FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO
·
Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
f(x) £
f(a)
si x pertenece a (a
- e, a) y f(x) ³
f(a)
si x pertenece a (a,
a + e).
· Análogamente, una función
es decreciente en un punto a
si existe un intervalo abierto (a
- e, a + e)
en el que f(x) ³
f(a)
si x pertenece a (a
- e, a) y f(x) £
f(a)
si x pertenece a (a,
a + e). La definición de función
estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más
que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >. Es preciso diferenciar el
significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de
función creciente o decreciente en un punto. Ejemplo:
estudio del crecimiento y decrecimiento de una función ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Estudiar el crecimiento y
decrecimiento de la función y = x2 en los puntos
Resolución: · La función y = x2 es estrictamente creciente en el
intervalo [0, +¥)
puesto que si
Por otro lado, es estrictamente
decreciente en (-¥,
0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42
(por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2
). Es estrictamente decreciente en x
= 0. · Nótese cómo en x
= 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este
punto es decreciente y a la derecha es creciente. Como pone de manifiesto este
ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente
decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de
ese intervalo. Recíprocamente, toda función
estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de
un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el
intervalo. |