CONSTRUCCIÓN
DE CURVAS El dominio de definición de una
función; su crecimiento y decrecimiento; el cálculo de máximos, mínimos
y puntos de inflexión; el estudio de concavidad y convexidad y el
hallazgo de posibles asíntotas, permiten construir con tanta precisión
como se desee innumerables curvas. A los apartados anteriores conviene
añadir el estudio de posibles simetrías que, cuando existan,
simplificarán notablemente las construcciones de curvas. Simetrías
·
Una función se dice que es par
si f(x) = f(- x). Estas funciones son simétricas
respecto al eje de ordenadas. Basta, pues, dibujar la curva situada a la
derecha de este eje y complementarla a la izquierda por simetría.
· Una función
f(x) es impar si
f(- x) = - f(x). Las gráficas de estas funciones
tienen al origen de coordenadas por centro de simetría. La más
característica de estas funciones es f(x)
= x3. En efecto, f(- x) = (- x)3 = - x3 = - f(x) Pasos a seguir en la construcción de una curva 1. Dominio de definición de la
función. 2. Simetrías. 3. Puntos de corte con los ejes. 4. Asíntotas. 5. Intervalos de crecimiento y
decrecimiento. 6. Máximos y mínimos. 7. Concavidad y convexidad. Puntos
de inflexión. Ejercicio:
Resolución: 1. Dominio de definición La función está definida para todo
valor de x excepto para
x = 5, que anula al denominador. En consecuencia, la recta
x = 5 es una asíntota vertical. Las raíces de x2 - 5x + 4 = 0 son 1 y 4, por lo que
x2 - 5x + 4 = (x - 1)
(x - 4).
a) Si x > 1 y x < 4, tanto
el numerador como el denominador son negativos, por lo que en este
intervalo, (1, 4), y > 0. b) Si x < 1, el numerador es positivo y el denominador es negativo.
c) Si x > 4 y x < 5, el
numerador es positivo y el denominador negativo. En consecuencia, y
< 0 en (4, 5). Para x = 1 y x = 4 el numerador
se anula y, en consecuencia, y
= 0. Así, la curva pasa por los puntos (1,0) y (4,0). Se pueden delimitar ya las zonas por
las que pasa la curva: 2. Simetría La función no es par ni impar:
3. Puntos de corte de los ejes Los puntos de la curva que cortan al
eje Y tienen abscisa cero,
luego imponiendo
Análogamente, los puntos de la
curva situados sobre el eje X tienen
ordenada cero (y
= 0). En el apartado anterior se obtuvieron los puntos (1,0) y (4,0). 4.
Asíntotas Ya se conoce la asíntota vertical
calculada en el primer apartado: x
= 5.
Asíntota oblicua:
En consecuencia, la asíntota oblicua es y
= mx + b = 1·x + 0 = x ® y = x. 5. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Al ser el denominador de esta fracción
positivo, para cualquier valor de
x, basta estudiar la variación de los signos en el numerador. a) Si x > 7, (x - 7)
(x - 3) > 0. En este caso y' >
0 y la función es creciente en (7, +¥). b) Si x > 3 y x < 7, (x
- 7) (x - 3) < 0; entonces
y' < 0 y la función es
decreciente.
6. Máximos y mínimos Si x = 7 - h, y' < 0.
Si x = 7 + h, y'
> 0, luego la derivada de la función en el punto 7 pasa de negativa
a positiva por lo que en x = 7
hay un mínimo. De la misma forma, si x
= 3 - h, y' < 0;
si x = 3 + h,
y' < 0, lo que indica que en x = 3 hay un máximo, ya que la
derivada en dicho punto pasa de positiva a negativa.
Para x = 3, f(3) = 1; el máximo
es (3,1) 7.
Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Los posibles puntos de inflexión se
obtienen de las soluciones de la ecuación
y una fracción es cero cuando su
numerador es cero. Puesto que el numerador es 8 y no
puede valer nunca cero, la anterior ecuación no tiene solución y la
curva no tiene puntos de inflexión. Si x > 5, (x - 5)3 es positivo y, por consiguiente,
y la curva es, en este intervalo,
convexa. Por el contrario, si x
< 5, (x - 5)3 es negativo y
Teniendo en cuenta todos estos
resultados, la gráfica de la función es: ‚ Dibujar la gráfica de la función y
= f(x) = 2x3 - 3x2 Resolución: 1. Dominio de definición Esta función está definida para
todo valor de x. 2. Simetrías No es una función par ni impar,
pues f(- x) = 2(- x)3 - 3(- x)2 = - 2x3 - 3x2
3. Puntos de corte con los ejes y
= x2(2x - 3). Si y = 0, x2(2x - 3) = 0, obteniéndose como soluciones x = 0 y x = 3/2. La curva pasa por los puntos (0,0) y
(3/2,0). Si x = 0, y = 0, punto que ya
se tenía. 4. Asíntotas Al no tener denominador no tiene asíntotas
verticales.
ningún valor de la pendiente. 5.
Crecimiento y decrecimiento y'
= f'(x) = 6x2 - 6x = 6x(x - 1) Si x > 1, y' > 0 y la
función es creciente ®
creciente en (1, ¥). Si x > 0 pero x < 1 , y'
< 0 y la función es decreciente ® decreciente en (0, 1).
6. Máximos y mínimos Resolviendo la ecuación f'(x)
= 6x(x - 1) = 0, se obtienen
como soluciones x = 0 y x
= 1. La derivada segunda es f''(x)
= 12x - 6. f''(0) = - 6 < 0 por lo que en x
= 0 hay un máximo. f''(1) = 12 · 1 - 6 = 6 > 0 y en x
= 1 hay un mínimo. Para x = 0, y = f(0)
= 0, y el máximo es (0,0). Para x = 1, y = f(1) = 2 · 13
- 3 · 12
= - 1; el mínimo es (1,- 1). 7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Igualando a cero la segunda
derivada, f''(x) = 12x
- 6 = 0, se obtiene la solución
Hay que comprobar si es o no punto
de inflexión.
Puesto que f''(x) = 12x - 6 = 6(2x
- 1), f''(x) es positiva si lo es 2x
- 1 y negativa cuando lo sea 2x
- 1.
Después de este estudio puede dibujarse la curva. ƒ Dibujar la gráfica de la función y
= f(x) = (x + 2) (x - 1)2 Resolución 1. Dominio de definición La función está definida para todo
valor de x. 2. Simetrías f(-
x) = (- x + 2) (- x
- 1)2
= (- x + 2) (x2
+ 2x + 1) = - x3
+ 3x + 2 f(x) = (x + 2) (x2
- 2x
+ 1) = x3 - 3x + 2 - f(x) = - x3 + 3x - 2 f(x) ¹ f(-x).
La curva no es par.
f(-x) ¹ -f(x). La
curva no es impar. 3. Puntos de corte con los ejes Si x = 0, y = (0 + 2) (0 - 1)2 = 2. La curva pasa por el punto
(0,2).
4. Asíntotas No tiene asíntotas verticales.
5.
Crecimiento y decrecimiento y'
= 3x2 - 3 = 3(x2
-
1) Para que y' > 0 debe ser x2
-1 > 0 Para que y' < 0 debe ser x2 -1 < 0
La curva es decreciente en (-1,1). 6. Máximos y mínimos
f''(x) = 6x. Si x = 1, f''(1) = 6 · 1 = 6
> 0, hay un mínimo en el punto (1, 0). Si x = - 1, f''(- 1) = 6 ·
(- 1) = - 6 < 0, hay un máximo en el punto (-1, 4). 7. Concavidad y convexidad
8. Puntos de inflexión
f''(0 + h) = f''(h) = 6h
> 0 f''(0 - h) = f''(- h) =
6 · (- h) = - 6h
< 0 La curva pasa de cóncava a convexa:
en x = 0 hay punto de inflexión.
Si x = 0, f(x)
= 2. El punto de inflexión es (0,2). |