Producto de términos consecutivos de una progresión geométrica
Continuando con la analogía observada, se encuentra la fórmula
del producto de términos de una progresión geométrica. Se denotará por Pn al producto a1 · a2 · ... · an. Se tiene entonces:
Pn
=
a1 ·a2 ·a3 ... an -
2 ·an
- 1
·an Invirtiendo el orden
Pn
=
an ·an
- 1
·an
- 2 ... a3
·a2
·a1
______________________________ y multiplicando
Pn 2 = (a1 ·an )(a2 ·an
- 1)
... (an
- 1 ·a2)(an ·a1 ) Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe
que:
a1
·an
= a2 ·an -
1 =
a3
·an -
2 = ... = an
·a1
Por tanto Pn 2 = (a1 ·an )n y despejando:
Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto. Esta fórmula no sólo sirve para multiplicar los primeros términos
de una progresión geométrica, sino que también es válida para
multiplicar cualesquiera n términos
consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas. Ejercicio:
Resolución: · Es una progresión
geométrica de razón r = 2
Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo
que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las
progresiones geométricas. ‚ Calcular el
producto de los siete primeros términos de la progresión 1, -2, 4, -8, ... Resolución: · Es una progresión
geométrica de razón r =
-2 · an = 1·(-2)n -
1;
a7
= 1·(-2)6
= 64
Para determinar el signo, obsérvese que hay tres términos
negativos y al ser este número impar, el producto de todos ellos es
negativo. Así pues, P7 = -221 |