REGLA
DE LA CADENA Esta propiedad asegura que si y
= f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que
contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
entonces la función compuesta
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x
de I y se obtiene
Ejemplo:
cálculo de derivadas ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular la derivada de la función
h(x) = sen x2. Resolución: · La función sen x2 es una función compuesta de otras
dos f(x) = x2
y g(x) = sen x.
· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)]
= cos f(x) = cos x2
· Por la regla de la cadena, h'(x)
= g'[f(x)] · f'(x) = 2x
cos x2
Resolución:
· De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,
· Por la regla de la cadena,
Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función
f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x),
la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, será:
[u(x)m]' = m · u(x)m - 1
· u'(x) Para simplificar la notación, y a
partir de ahora, se escribirá simplemente u
en lugar de u(x). Así,
Ejercicio:
cálculo de derivadas ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular la derivada de f(x)
= (x2
+
1)3. Resolución: · Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 · f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo
neperiano se sustituye x por
una función de x, u(x), en
virtud de la regla de la cadena se tiene que
Ejercicio:
cálculo de derivadas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resolución:
· Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
· Se aplica la regla de la cadena:
‚ Hallar la derivada de f(x)
= ln |sen x | Resolución: · u = sen x; u' = cos x
Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x),
por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
f'(x) = (au
)'
= u' · au · ln a
g'(x) = (eu )' = u' · eu Ejercicio:
cálculo de derivadas ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular la derivada de
f(x) = 4x
sen x Resolución: · Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen
x + x cos x
f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x
sen x · ln 4
Resolución:
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
Ejemplos Calcular la derivada de f(x)
= sen(sen x) Resolución: · Si u = sen x, u' = cos x f'(x)
= (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x) ‚ Hallar la derivada de g(x)
= sec (x2
- 1) Resolución: · u = x2 - 1; u' = 2x ·
g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x
· sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1) ƒ Calcular la derivada de h(x)
= sen3x2 Resolución: · Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2
= u3. · Por la regla de la cadena, la
derivada de u3
es (u3 )' = 3 · u2 · u' Llamando v = x2; u = sen v. u'
= v' · cos v = 2x
· cos x2 · Finalmente, h'(x) = (sen3x2)'
= 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 = = 6x · sen2x2 · cos x2 Para calcular la derivada de una
función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante
resultado, aunque se evita hacer su demostración. |