PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN
Primera
propiedad Si F(x) es una primitiva de f(x)
y C una constante cualquiera
(un número), la función F(x)
+ C es otra primitiva de f(x). Demostración: Basta recordar que la derivada de
una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las
funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.
(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x) Ejercicio: Encontrar tres primitivas de la
función cos x. Resolución: · Se sabe que sen x es una primitiva de cos
x. · Tres primitivas de cos
x son, por ejemplo,
Segunda
propiedad Si una función tiene una primitiva,
entonces tiene infinitas primitivas. Demostración: Si F(x) es una primitiva de f(x),
para cualquier constante C, F(x) +
C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas
primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera
propiedad Dos primitivas de una misma función
se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas
de la función f(x), entonces F(x)
- G(x) = C = cte. Demostración: Hay que recordar que si una función
f(x) definida en un intervalo
cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función
f(x) es constante. Es decir,
si f'(x) = 0, entonces f(x) = C. Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x),
F'(x) = f(x);
si G(x) es otra
primitiva de f(x), G'(x) = f(x). Restando miembro a miembro, F'(x)
- G'(x) = (F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x)
- G(x) = C. |