Volúmenes de cuerpos de revolución
Dada una función continua y = f(x), positiva,
definida en un intervalo [a, b],
al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas,
genera un cuerpo en el espacio
llamado de revolución. Al cortar por un plano perpendicular
al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x),
por lo que su área es:
Según lo estudiado en el apartado
anterior, el volumen del cuerpo es:
Ejercicio:
cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Calcular el volumen de una esfera
de radio r. Resolución: · Al hacer girar un cuarto de
circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El
volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera. · La ecuación de la circunferencia
es x2
+ y2 = r2. Despejando y2:
y2 = r2 - x2,
[f(x)]2 = y2 = r2 - x2 · El volumen de la esfera es
entonces:
‚ Calcular el volumen de un cono
recto de altura h y radio de
la base r. Resolución: · Si en un sistema de ejes
cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0, 0), (h, 0) y (h, r ), al hacer
girar sobre el eje OX la recta
determinada por (0, 0) y (h, r ),
se genera un cono de altura h
y radio de la base r . · La ecuación de la recta que pasa
por (0, 0) y (h, r ) es
· El volumen del cono es entonces:
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