SUCESIONES
ACOTADAS Sucesiones
acotadas superiormente e inferiormente Una sucesión (an
) está acotada superiormente
si existe un número k tal que
cualquier término de la sucesión es menor o igual que k, es decir, para todo n, an
£
k.
Al número k se le llama cota
superior de la sucesión. De la misma forma, una sucesión
está acotada inferiormente si
existe un número M tal que
cualquier término de la sucesión es mayor o igual que M.
En consecuencia, para cualquier n,
an
³ M.
Al número M se le llama cota
inferior de la sucesión. Sucesión
acotada Una sucesión que está
acotada superiormente e inferiormente se dice que está acotada. En este caso existe un número k tal que -k < an
< k, es decir, |an
|
< k. Observando estas definiciones es claro que una sucesión que
diverge a +¥ no puede estar acotada superiormente, y una sucesión que diverge
a -¥ no está acotada inferiormente. Ejercicio:
inferiormente por 2 y superiormente por 3. Resolución:
Multiplicando ambos miembros por n2: 2n2 + 1³ 2n2. Restando 2n2 : 1 ³ 0, lo cual es cierto.
Restando 2n2 a los dos miembros, 1£ n2. Y esto es cierto ya que n es
un número natural.
Resolución:
Otras
propiedades de las sucesiones convergentes · Propiedad 1 Cualquiera sucesión convergente está acotada. · Propiedad 2 Si (an
)
y (bn
) son dos sucesiones convergentes con límites L1 y L2 respectivamente, y tales que an
£
bn
para todo n, entonces L1
£
L2.
· Propiedad 3 Si (an
),
(bn
) y (cn
)
son tres sucesiones convergentes tales que an
£
bn
£
cn
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