Tangente
a una curva en un punto El concepto de derivada facilita la
definición de tangente a una
curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por
otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la
curva, tiende a coincidir con el primero. Propiedad Si una función es derivable en un
punto, necesariamente es continua en él. Demostración: Sea una función y
= f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es
continua en él, es preciso demostrar que
o lo que es equivalente, que
Pero
de donde, por ser f(x)
derivable,
Esta propiedad evita el trabajo de
estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea
continua. Por el contrario, puede darse el
caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en
alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es
derivable, como ya se ha comprobado, en el origen. |