Integración de Racionales 1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x) Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que: P(x)=Q(x)C(x)+R(x) Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos: La integral se descompone en dos: Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3. 2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x): Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a: La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2. 3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x): Seguimos el siguiente proceso:
3.1. Raíces reales simples. 3.2. Raíces reales múltiples. 3.3. Raíces complejas simples. 3.4. Raíces complejas múltiples.
3.1. Raíces reales simples: a) Podemos poner la integral racional así: b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma: c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte. d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano. Ejemplo: Hacemos: Quedando la integral: 3.2. Raíces reales múltiples: Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r1, r2,...rm con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así: Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificación de coeficientes obtenemos las constantes y de ahí la integral queda recducida a inmediata: Ejemplo: El radicando se descompone así: Quedando la integral: 3.3. Raíces complejas simples: Supongamos el caso particular, para fijar ideas, de que el polinomio Q(X) fuese de 5: grado y sus raíces fuesen x=r1 (raíz real simple), x=r2 (raíz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (raíces complejas simples conjugadas). Q(x) quedaría descompuesto así: Los dos últimos términos pueden expresarse así: Y la descomposición de Q(x) quedaría así: Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno. En la descomposición de Calculemos ahora I1 e I2 Y para la integral I tenemos: Y para esta última integral nos queda: Con lo cual finalmente queda: Con lo que el problema está ya resuelto: Ejemplo: Las raíces del denominador son: Quedando el radicando: Con lo que: 3.4. Raíces complejas múltiples: Aplicaremos el método de Hermite, descomponemos P(x)/Q(x) de la siguiente manera:
Ejemplo: El denominador tiene una raíz real simple x=1 y dos raíces
complejas dobles El denominador pues, puede ser descompuesto así: La descomposición de Hermite es: Identificando coeficientes tenemos: De donde De donde resulta el sistema: Que resuelto da: Y la integral pedida queda: |