Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica
Se denotará por Sn a la suma de n términos
consecutivos de una progresión geométrica:
Sn
=
a1
+ a2
+ ... + an
- 1
+ an Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un
modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:
Sn
· r = (a1
+ a2
+ ... + an
- 1
+ an
) · r
Sn
·
r = a1
·r
+ a2 ·r
+ ... + an
- 1
·r
+ an
·r,
y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón
se obtiene el término siguiente,
Sn
· r =
a2 +
a3
+ ... + an
+
an
·
r
Restando ahora a esta igualdad la primera:
Sn
· r =
a2 +
a3
+ ... + an
+
an
·
r
Sn
=
a1
+ a2
+ ... + an
- 1
+ an
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Sn
·
r - Sn
=
-a1
+ an
· r
Sn
(r
- 1) = an
· r
- a1 Despejando Sn,
Esta fórmula que da la suma de n
términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión
igualmente útil si se expresa el término general an como a1 · rn - 1:
Ejercicio: Sumar los quince
primeros de la progresión geométrica 3/2, 9/2, 27/2 ... Resolución:
‚ Sabiendo que 3 es
el primer término de una progresión geométrica y 1 875 el quinto,
calcular la suma de esos cinco términos. Resolución: · a5 = 1875 = 3·54 = a1·r4 Þ r4 = 54 Þ
r = ±5
ƒ Sumar los términos
comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la
Resolución:
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