APLICACIONES
DE LA INTEGRAL
Cálculo
del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse
Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x)
y g(x)
cumplen que f(x) ³ g(x), entonces
representa el área de la superficie
que encierran las dos curvas. En la figura, se ha llamado A,
B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x)
y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C
es el área de una zona situada por debajo del eje X:
Para calcular el área encerrada por
dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos: · Se trazan las curvas. · Se señalan los puntos en los que
se cortan las curvas. · Se determina la zona de la que hay
que calcular el área. · Dependiendo de los resultados que
se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas
de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados.Así,
por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos
curvas es B + C. Para calcular su área se procede así:
Para obtener el área de la zona B
+ C hay que restar las áreas de A
y D y sumar el área de C.
(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c
y d por debajo del eje X
su integral sería negativa.) Por tanto:
Ejercicios: Hallar el área de la superficie
que determinan las curvas f(x)
= 4x - x2 y g(x) = x. Resolución: 1. Trazado de las curvas:
2. Puntos de corte de las dos curvas:
3. La zona de la que hay que calcular
el área es la zona coloreada. Si se llama A
al área de la parábola entre x
= 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta y
= x, el eje de abscisas y la recta x
= 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que
S = A -
B
El área también se podría haber
calculado así:
‚ Calcular el área de la superficie
que encierran las curvas f(x)
= 6x - x2 y g(x) = x2
- 2x. Resolución: 1. Trazado de las curvas:
· Máximos y mínimos de f(x):
· Máximos de mínimos de g(x):
2. Puntos de corte de f(x)
y g(x):
Puntos (0, 0) y (4,8) 3. Se ha de calcular el área de la
zona rayada. Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x)
> g(x), el área pedida es:
ƒ Calcular el área del círculo de
radio r . Resolución: · Para simplificar se supondrá la
ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r:
· Para más comodidad, y sin que ello
afecte a la solución del problema, se calculará el área del cuarto de
círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro
veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de
circumferencia en el primer cuadrante es y
=
· Para resolver esta integral se hace
el cambio de variable x = r sen t dx
= r · cos t Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:
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