DETERMINACIÓN DEL MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN De las definiciones y resultados
obtenidos se derivan tres métodos para la determinación de los
extremos de una función. 1.
Análisis de la función a derecha e izquierda de cada posible extremo Si a es un punto en el que f'(a)
= 0, se toma un número h
suficientemente pequeño y se calculan los valores f(a + h) y f(a - h):
a) Si los dos son menores que f(a),
hay un máximo en a.
b) Si ambos son mayores que f(a),
en a hay un mínimo.
c) Si uno de ellos es mayor
que f(a) y el otro menor, no
hay extremo. Ejercicio: Encontrar los extremos de la función
y = x2. Resolución: · Puesto que la ecuación y'
= 2x = 0 tiene como solución x
= 0, de haber algún extremo éste se encuentra en el punto (0,0).
Por tanto en el punto (0,0) hay un mínimo. ‚ Hallar, si existen, los extremos de
la función y = x3. Resolución: · La solución de y' = 3x2
=
0 es x = 0
Se concluye que la función
y = f(x) = x3
no tiene extremos relativos. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.
Análisis de la derivada a derecha e izquierda del posible extremo
Si a es un punto en el que
f'(a) = 0, eligiendo un número
h próximo a cero, puede ocurrir: a) Si f'(a - h) es negativo y f'(a
+ h) es positivo,en a hay un mínimo. Obsérvese que a la izquierda de un
mínimo las tangentes a la curva tienen pendiente negativa y a la
derecha tienen pendiente positiva. b) Si f'(a - h) es positivo y f'(a
+ h) es negativo,en a hay
un máximo. La explicación de este criterio se
obtiene mediante un razonamiento análogo al anterior. c) Si f'(a - h) y f'(a + h) tienen
el mismo signo,positivo o negativo, no hay extremo en el punto
a. Ejercicio:
Resolución: · Por la fórmula de la derivada de
un cociente,
Puesto que una fracción es cero
cuando su numerador es cero,
· Para un h suficientemente pequeño (ya sin especificar como en el caso
anterior):
(el numerador y el denominador son
positivos).
(numerador y denominador tienen
signos distintos). ·
Se observa que la derivada pasa, en
un entorno del punto de abcisa 0, de ser positiva a ser negativa. Se
deduce, pues, que en este punto hay un máximo relativo. Como para x = 0, y = 1, el máximo
de esta función está en el punto (0,1). 3.
Análisis de la derivada segunda Si f(x) es una función
derivable en un entorno de a,
(a - e, a + e)
y f '(a) = 0, a) Si f''(a) > 0, la función tiene un mínimo en a. b) Si f''(a) < 0, la función tiene un máximo en a. Demostración: a) Por ser f''(a) > 0, la función f'(x)
es estrictamente creciente en a
(primera propiedad de funciones derivables).
De f''( x ) < 0 en (a
- e, a) se deduce (por la segunda propiedad de funciones derivables) que
la función f(x) es
estrictamente decreciente en cada punto de (a
- e, a), es decir, es estrictamente decreciente en (a - e,
a). Por tanto,
lo que quiere decir que en
a hay un mínimo relativo. b) Se probaría análogamente al caso
a). Ejercicio: Determinar los máximos y mínimos
de la función y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x Resolución: · Se calcula y' y se iguala a cero, y' = 6x2 + 6x - 12 = 0 · La ecuación 6x2 + 6x - 12 = 0 tiene por raíces 1 y - 2. · Se calcula la segunda derivada f''(x)
= 12x + 6 Para x = 1, f'' (1) = 12 + 6 =
18 > 0. En x = 1, (1,-7),
hay un mínimo. Para x = - 2, f'' (- 2) = 12(-
2) + 6 = - 18 < 0. En x = -
2, (-2,20), hay un máximo. ‚ Dibujar la gráfica de la función
Resolución: · Para cualquier valor de x,
el denominador 1 + x2 > 0, es decir, no se anula. Por
tanto, la función está definida para todo número real x. Dicho de otra forma, su dominio de definición es toda la recta
real. · La función es siempre positiva
cualquiera que sea el valor de x,
por tanto su gráfica quedará por encima del eje de abscisas. · Posee, según se ha estudiado ya,
un máximo en el punto (0,1).
basta estudiar la gráfica en el
primer cuadrante, dibujar la curva y completar su trazado en el segundo
cuadrante por simetría con respecto al primero.
al eje de abscisas (aunque nunca la
toca).
Si x < 0, y' > 0 y la
función es creciente en (-¥, 0].
Con todos estos datos el trazado aproximado de la curva es:
podría haberse dibujado de
cualquiera de estas formas. |