Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética
Se denotará por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an Se tiene entonces:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an Invirtiendo el orden,
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1 y sumando,
2Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an
+ a1) Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe
que:
a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1 Por tanto, 2 · Sn = n(a1 + an), y despejando:
Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de
una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos. Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay (83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros). La suma es:
Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss
(1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la
escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números
naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de
dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050. Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100
era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse
cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales
sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar:
50 · 101 = 5 050. Ejercicio: Sumar los veinte
primeros términos de la progresión: -5, 4, 13, 22, 31, 40 Resolución:
· La diferencia es d
= 9 · a20
= -5 + (20 - 1) · 9 a20
= -5 + 19·9 = 166
‚ Dada la progresión
aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los términos comprendidos
entre a24 y a36. Resolución: · La diferencia es d
= -5. a24 = 8 + 23 · (-5) = -107 a36 = 8 + 35 · (-5) = -167 Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos.
ƒ ¿Cuántos términos
de la progresión -11, -4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea
570? Resolución: Se sabe que:
a1 = -11, d = 7, an
= -11 + (n - 1) 7 = 7n
- 18 y Sn = 570. Se ha de calcular n:
1140 = 7n2 - 29n
7n2 - 29n - 1140 = 0 Se resuelve la ecuación de 2.º grado:
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