MODELIZACIÓN DE PROBLEMAS EN RESTAURACIÓN MEDIANTE FUNCIONES CUADRÁTICAS.

1. En un bar el precio del menú del día es de 9 euros, y el comedor se suele llenar con 15 comensales. La dueña del bar desea subir el precio del menú para subir los beneficios, pero sabe que por cada euro que suba el precio del menú perderá un cliente. 
a) Calcula el beneficio que tiene el bar en función de cada euro que suba el precio, y representa la función.
b) ¿Cuánto hay que subir el precio del menú para tener el beneficio máximo? ¿Cuánto es este beneficio?
SOLUCIÓN:
Una opción para resolver el problema, es la forma aritmética que consistiría en escribir una tabla como la de abajo donde se especificase cuánto subimos el precio del menú, cuál es este precio, el número de clientes y el beneficio. 

Subida de precio 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Precio del menú 
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Número de clientes 
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Beneficio 
135
140
143
144
143
140
135
128
119
108
95
80
63
44
23
Otra opción, más rápida, es usar el método algebraico y llamando x al número de euros que subimos el menú y expresar a partir de este el beneficio (que llamaremos y) que tendrá el restaurante:

Subida de precio 
x
Precio del menú 
9+x
Número de clientes 
15-x
Beneficio (y)
 (9+x)·(15-x)

Comotenemos que la función que 

debemos que representar es:

 

Que es una función cuadrática, cuya representación gráfica es una parábola cuyo vértice viene dado por:


donde se alcanzará el máximo y este será

Beneficio(3) = 

Para terminar de representar la función calculamos el punto de corte con el eje Y
Beneficio(0) = 

Y se calculamos los puntos de corte con  el eje X

entonces x= -9 ó x= 15

2. En un restaurante el precio del menú es de 21 euros, y el comedor tiene un espacio para 16 comensales. La propietaria del restaurante desea subir el precio del menú para subir los beneficios, pero sabe que por cada euro que suba el precio del menú perderá un cliente. 
a) Calcula el beneficio que tiene el bar en función de cada euro que suba el precio, y representa la función.
b) ¿Cuánto hay que subir el precio del menú para tener el beneficio máximo? ¿Tiene sentido el resultado? ¿Qué le aconsejas que tiene que hacer la dueña?
SOLUCIÓN:
Usamos, nuevamente, el método algebraico y llamando x al número de euros que subimos el menú y expresamos a partir de este el beneficio (que llamaremos y) que tendrá el restaurante:

Subida de precio 
x
Precio del menú 
21+x
Número de clientes 
16-x
Beneficio (y)
 (21+x)·(16-x)

Comotenemos que la función que 

debemos que representar es la parábola:
	

La abscisa vértice viene dada por:


donde se alcanzará el máximo y este será

Beneficio(-2'5) =
 


Pero, ¡¿qué significa que se deba subir el precio -2'5 € , para obtener máximo beneficio?! . Pues significa simplemente que no se debe subir el precio para obtener más beneficios, sino que bajando el precio vendrá más gente, y en este caso, suben los beneficios. Vemos en la gráfica que si subimos el precio  los beneficios se desploman, y si los bajamos hasta 2'5 €, suben los beneficios, pero si los bajamos de 2'5 € vuelven a bajar los beneficios.

Por lo tanto para obtener más beneficios debería bajar los precios 2 € y poner ¡dos mesas más!













3. Una pareja de novios quiere celebrar su boda. Un restaurante les ofrece un banquete de 60 € por persona si van 50 invitados y les rebajan un 0'50 € por persona por cada invitado adicional. ¿Cuántos invitados adicionales tiene que tener el banquete de bodas para que el restaurante tenga el mayor beneficio? ¿A partir de cuántos invitados adicionales debería detener el restaurante su oferta?

SOLUCIÓN:
Llamaremos 	 X=número de invitados extra
		Y= Beneficos del restaurante
Escribimos los datos en una tabla:

Número de invitados extra
x
Numero de invitados
50+x
Precio del menú
60-0'50·x
Beneficio (y)
 (50+x)(60-0'50x)





Por tanto la función beneficio es


Alcanza el máximo en


y el beneficio máximo es


Benefico(35)= =

Benefico(35)= 3612'50 €