Actividad para trabajar la lectura y posicionamiento de puntos sobre los ejes cartesianos. 

 

Apuntes, esquemas y actividades sobre los principales contenidos que en secundaria se trabajan en relación a la matemática financiera

Un poco de Historia.

La matemática financiera nace ya en la antigüedad dado que su desarrollo es paralelo al desarrollo del comercio. En el siglo V a. C. la civilización de Atenas ya acuñaba moneda con tal de facilitar los intercambios comerciales y el imperio romano disponía de un sistema bancario. Los principales problemas a los que debían enfrentarse estas civilizaciones eran el de la propiedad y el del interés sobre los préstamos.

Durante la época medieval los estudios relacionados con problemas de matemática financiera se estancan, entre otras cosas porqué la iglesia prohíbe y condena los préstamos ya que los considera una forma de usura.

Con el renacimiento nacen nuevas ideas, estilos y líneas de investigación en todos los campos, incluido el de las matemáticas. Los estudiosos comienzan a considerar las matemáticas como una herramienta útil y estudian su aplicación al campo de la arquitectura, de la pintura y también por supuesto al de los negocios.

Hay que tener en cuenta que en la Europa de los siglos XIII y XIV se produce un gran apogeo del comercio, los comerciantes europeos comienzan a tratar con los árabes, y si tenemos en cuenta que cada estado utiliza sus propia moneda, unidades de medida y pesos, se plantean un gran número de problemas empezando por la equivalencia entre unas cantidades y otros. La matemática se ve en la obligación de dar respuesta a estos nuevos problemas con la adopción de nuevos métodos de contabilidad.

En este contexto histórico un matemático italiano de nombre Luca Pacioli (1445-1517) escribe y publica la obra Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportional1ità, obra que es considerada por muchos historiadores como el punto de partida de la matemática financiera. Sin embargo hay que tener en cuenta que Pacioli se inspira en obras precedentes, entre ellas podemos citar el Liber Abaci de Fibonacci (1180-1250). En este libro Fibonacci ya aborda problemas como el de calcular el beneficio de una transacción o como encontrar la equivalencia de una moneda con otra.

En la obra de Pacioli podemos encontrar tablas con las distintas unidades de medida, pesos y monedas que se utilizaban en ese período en los diferentes estados, tablas que resultan de gran utilidad a la hora de facilitar los intercambios comerciales. En la obra Pacioli también explica los métodos de cálculo que utilizaban los banqueros florentinos, métodos que se basaban en el sistema de numeración decimal; la sencillez de estos métodos hará que rápidamente se extiendan por toda europa. La difusión de la obra de Pacioli se debe no solo a su importancia matemática, sino también a la reciente invención de la imprenta, ideada en el año 1450 por Gutemberg. La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità  es el primer texto impreso de álgebra y aritmética; hasta ese momento las obras precedentes eran manuscritos que para su divulgación se copiaban manualmente varias veces, pero las copias muchas veces eran inexactas o contenían errores. Además estos manuscritos eran escasos y estaban al alcance de unos pocos estudiosos. La imprenta cambió este panorama, permitió que la obra de Pacioli fuese muy conocida y se difundiera de manera muy rápida constituyendose como la principal obra de referencia en para el desarrollo matemático de los años posteriores.

Entre las contribuciones más importantes de la obra cabe destacar que por primera vez se presenta lo que conocemos por sistema de contabilidad doble, es decir como calcular contemporaneamente los ingresos y los gastos para así facilitar el cálculo de los balances. Este concepto que ahora nos parece muy simple, no lo era en aquellos tiempos .

Para qué la matemática financiera adquiera la estructura actual será necesario esperar a la introducción de los logaritmos y de las funciones continuas en los siglos XVI y XVII. En 1609 en Amsterdam se funda el que se considera el primer Banco en el sentido moderno de la palabra, es decir, una entidad que recibe dinero de los clientes y lo guarda y lo tiene a su disposición.

 

Proporcionalidad

 

 

 

Actividades

1.- En un instituto hay 500 estudiantes. Si el 12% se ha marchado de excursión, ¿cuántos alumnos quedan en el instituto?

2.- Si sabemos que el 30% de los estudiantes de la ESO lleva gafas, y en un instituto hay 60 alumnos de la ESO que las llevan, ¿cuántos alumnos tiene el instituto?

3.- 16 de los 80 alumnos de 4º de la ESO no han aprobado el curso. ¿Qué tanto por ciento de fracaso escolar hay en 4º de la ESO?

4.- Un kg de queso cuesta 7,5 €, ¿cuánto costaran 300 g?

5.- En una receta de cocina se indica que para cocinar un pastel se necesitan 50 g de chocolate para cada 4 personas. Si queremos cocinar un pastel para 22 personas, ¿cuántos gramos de chocolate necesitaremos?

6.- En época de rebajas por cada 3 prendas nos obsequian con un vale descuento de 15 €. Si compramos 12 prendas ¿ a cuánto asciende el vale descuento?

7. En un folleto de publicidad un ordenador portátil cuesta 990 €. Sin embargo este precio es sin el IVA. Si el IVA que hay que aplicarle es del 16 %, ¿cuánto nos costará realmente el ordenador?

8. ¿Qué cantidad corresponderá a cada uno de los tres socios de una empresa que ha obtenido unos beneficios de 10500 € si el segundo socio posee el triple que el primero y el tercer socio la misma cantidad que el primero y el segundo juntos?

9. Por cada 60 € de compra nos regalan un vale descuento de 3 €. ¿Qué cantidad en descuento acumularemos si nos gastamos 240 €?

10. A Juan le han subido un 3,5% el alquiler de su piso. Si antes pagaba 410 €, ¿cuánto paga ahora?

11. Este año han visitado el Museo 2204 personas, el 5% menos que el año pasado. ¿Cuántas personas visitaron el museo el año pasado?

12. En otro Museo el número de visitantes ha sido de 3225. Si el año pasado lo visitaron 3115 personas, ¿en que porcentaje ha variado el número de visitantes?

Progresiones

Ejemplo resuelto

 

 

Actividades

1. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas?

a) 7, 9, 11, 15, 22, 33

b) 3, 6, 12, 24, 48

c) 2, -2, 2, -2, 2, -2, 2

d) 5, 8, 11, 14, 17

e) 3, 5, 8, 12, 17, 23

2. De las sucesiones del ejercicio anterior que son progresiones, deduce el término general.  

3. Dada una progresión aritmética en que el primer término es 5 y la diferencia es 1/2, calcula el undécimo término de la progresión así como la suma de los 13 primeros términos.

4. En una progresión geométrica el tercer termino es 6 y el quinto es 18. Calcula el término general de la progresión.

 5. En una progresión aritmética de 13 términos el séptimo es 20. Calcula la suma de los términos de esta progresión.

6. Dada la progresión: 1, 4, 7, 10, calcula los términos que ocupan el lugar número 17 y el lugar número 25.

7. Supongamos que cada litro de gasolina aumenta su precio de 0,015 céntimos cada mes. ¿Cuanto costará un litro de gasolina dentro de 10 meses si hoy cuesta 1,03 €?

 

 

Interés simple

Ejemplo resuelto

 

 

 

Actividades

1. Marta deposita 3000 € en la caja de ahorros de su localidad que le ofrece el 5% de interés simple anual.

a) Calcula el capital final transcurridos 150 días.

b) ¿Qué beneficio ha obtenido Marta al cabo de estos 150 días?

2. Tenemos depositados 5000 € en un banco. Al cabo de un año nos abonan en concepto de intereses 360 €. ¿Qué tipo de interés simple, expresado en tanto por ciento, nos han aplicado?

3. ¿En cuánto se transformarán 3125 € invertidos a un interés simple del 4,2% anual durante 8 años?

4. ¿A qué interés simple se ha depositado un capital de 3000 €  si sabemos que en 10 años se ha convertido en 6000 €?

5. ¿Qué cantidad de dinero tendremos que ingresar en una entidad bancaria al 3,5% anual durante 4 años para obtener un capital final de 4731 €? Los intereses se retiran al final de cada año.

6. Para un deposito de 15000 € hemos obtenido al cabo de dos años un beneficio de 560 €. ¿Qué interés simple nos ha aplicado la entidad financiera?

 

 

 

 

Interés compuesto

Ejemplo resuelto

 

 

 

Actividades básicas

1. Calcula el capital final que obtendremos por un depósito de 5000 euros al 7,5% de interés compuesto anual durante cuatro años.

2. Por un depósito que efectuamos hace tres años hemos obtenido un capital final de 6720,27 €. Sabiendo que la entidad financiera nos aplica un 3% de interés compuesto anual, ¿qué cantidad inicial ingresamos?

3. A interés compuesto, ¿cual es la tasa de interés trimestral equivalente a un 2,2% cuatrimestral?

4. A interés compuesto ¿cual es la tasa anual equivalente a un 1,1% mensual? ¿Y a interés simple?

5. Una persona ingresa en un banco un capital de 1000 euros al 5% d¿interés compuesto. ¿Cuánto le devolverán al cabo de 20 años?

6.Una persona ha colocado 4300 € en un fondo de inversión durante 3 años. Si el capital final es de 4774,41 €, ¿qué tipo de interés anual tenía este fondo?

 

 

 

 

TAE

 

 

Actividades básicas

 

 

Actividades de desarrollo

1. Un banco ofrece a sus clientes una cuenta corriente con un interés compuesto anual del 4% y con una liquidación de intereses mensual. ¿Qué TAE está ofreciendo?
2. Calcula los intereses que producen 1200 € invertidos al 4,2% anual durante 10 años y que se capitalizan semestralmente.
3. Queremos efectuar un depósito de 4000 euros en una cuenta de ahorros a plazo fijo. Recibimos las ofertas de dos entidades financieras, que son:

a) Al 3% durante 18 meses con capitalización mensual.

b)  Al 3,2% durante un año y medio trimestral ¿Cuál resulta más beneficiosa?

4.     Al abrir una libreta de ahorros nos ofrecen dos posibilidades: Un nominal del 4,1% convertible trimestralmente o una TAE  del 4,19%. ¿Cuál de las dos posibilidades resulta más ventajosa?

5. Ingresamos 6000 € en una libreta a plazo durante 6 años con una capitalización mensual. Si se transforman en 7578,99 €, ¿Cuál es la tasa de interés anual de la operación?ç

6. Se colocan 1800 € a un interés nominal de 6,13%. Calcula la TAE  según las diferentes frecuencias de capitalización:

a) Anual

b) Semestral

c) Trimestral

d) Mensual

e) Calcula el capital que se obtendrá al final del primer año en la opción más ventajosa.

7. Una entidad bancaria ofrece la utilización del servicio de pago aplazado par los titulares de su tarjeta de crédito. Este servicio reporta intereses a favor del banco, al tipo nominal de 1,95% mensual, que se liquidan cada mes. ¿Cuál es la TAE de este servicio?

8. ¿ Cuál es el capital que se ha invertido durante 3 años al 3,85% nominal anual, convertible bimensualmente, para que produzca 17223,01 €?

Este crucigrama ayuda a los estudiantes a reliazar un repaso sobre conceptos numéricos y geométricos

 

Título:	Traducción al lenguaje algebraico
Alumnado al que se dirige:	1º ESO
Meta/Objetivo:	Los alumnos deberán traducir enunciados escritos mediante el uso del lenguaje natural al lenguaje algebraico en forma de ecuación sencilla y deberán resolverlas.
Área/Contenidos	Matemáticas. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado sencillas.
Presentación:	Este dominó de 24 fichas no tiene la estructura de los dominós clásicos de 28 fichas. Se ha formado simplemente con 22 frases que dan lugar a 22 ecuaciones sencillas cuando se las traduce al lenguaje algebraico. Los alumnos deben asociar, encadenando las fichas de dominó, cada enunciado con la solución de la ecuación correspondiente.
Metodología/situación de aprendizaje:	El objetivo final del juego es formar una cadena de fichas de dominó enlazando cada enunciado con la solución de la ecuación correspondiente. Los alumnos recibirán, por una parte, la tabla con los enunciados y, por otra, las fichas de dominó.
Materiales/Recursos	24 fichas de dominó en las que en la parte de la izquierda tienen un enunciado escrito en lenguaje ordinario (que debe ser traducido al lenguaje algebraico para obtener la ecuación correspondiente) y en la parte de la derecha un número (que será la solución de alguna de las ecuaciones que se vayan obteniendo después de realizar la traducción del lenguaje ordinario al algebraico).
Agrupamiento	Por parejas.
Fases	Deberán PRIMERO rellenar la columna de las ecuaciones y las soluciones en la tabla. Cuando acaben, comprobarán sus resultados con una pareja vecina, para poder iniciar la parte lúdica de la actividad. A continuación, recortarán las fichas, e intentarán formar una cadena con todas ellas, empezando con INICIO y acabando con FINAL. La cadena se deberá pegar en uno de los cuadernos de cada pareja.
Atención a la diversidad	La dificultad del juego se puede aumentar modificando las fichas con enunciados más complejos de traducir al lenguaje algebraico.